Logické výrazy

V tomto tématu pracujeme s logickými výrazy s formálním značením (např. A or B), přičemž některé logické spojky značíme pomocí anglických slov (and, or, not). Toto značení je v informatice běžné, používá se například v mnohých programovacích jazycích. Téma dělíme na následující podtémata:

• Logické spojky a pravdivostní tabulky – význam jednotlivých logických spojek, přepisování z běžného jazyka do informatické notace (and, or, not, xor, ⇒, ⇔)
• Vyhodnocování logických výrazů – vyhodnocení složených výrazů kombinujících více logických spojek
• Úpravy logických výrazů – přepis na ekvivalentní výraz, který vypadá jinak, ale má vždy stejnou pravdivostní hodnotu
• Logické odvozování s výrazy – odvozování závěrů z předpokladů, kterých může být i více

Práci s logickými výroky si můžete dále procvičit i v různých jiných zápisech:

• Logické výroky slovy – výroky v běžném jazyce
• Logika na Umíme matiku – práce s výroky v matematické notaci (∧,∨,¬)
• Logické výrazy v Pythonu – práce s logickými výrazy v kontextu programování

Pravdivostní hodnoty

V informatice používáme většinou zaměnitelně následující:

• 1 = true = pravda
• 0 = false = nepravda

Logické spojky

Pravdivostní tabulka logických operací

Vyhodnocení logického výrazu si můžeme představit jako zjištění, jestli je pravdivý nebo nepravdivý. U jednoduchého výroku jeho vyhodnocení odpovídá jeho pravdivosti, ale u složitějších výroků s logickými spojkami jde o kombinaci pravdivostí jednotlivých podvýroků pomocí spojek.

Například spojka and se vyhodnotí na pravdu (true, 1) právě tehdy, když jsou oba výroky pravdivé.

Tedy 1 and 1 = 1, ale například 1 and 0 = 0.

Pravdivostní tabulka logických operací

Úpravy logických výrazů je vhodné provádět například tehdy, když chceme určit pravdivost daného výroku nebo porovnat, jestli jsou dva výroky shodné. K tomu se hodí základní přepisová pravidla.

Přepis základních logických spojek

Přepis implikace, ekvivalence a operace xor

Analogické zákony jako při počítání s čísly

Pro logické operace and a or také platí komutativní (1. a 2. řádek následující tabulky), asociativní (3. a 4. řádek) a distributivní zákony (5. a 6. řádek):

Další cvičení s trochu jinou notací najdete i na umíme matiku.

Logické odvozování s pomocí logických výrazů je formální varianta odvozování logických důsledků slovy.

Jde o proces, kdy dostaneme několik logických výrazů (faktů) a odvozujeme z nich jiný výraz (závěr). Nemusíme ale nutně jen odvozovat nové závěry, můžeme se i například pokoušet rozhodnout, jestli nějaký dodaný výrok plyne z jiných.

Říkáme, že výraz se dá odvodit (tedy vyplývá) ze zadaných výrazů právě tehdy, když platí ve všech případech, kdy platí všechny zadané výrazy.

Příklady

• Z výrazu X \text{ and } Y můžeme odvodit X, protože kdykoli platí X \text{ and } Y, musí platit X i Y, a tím spíš musí platit i samotné X.
• Z výrazů X \text{ or } Y a \text{not } X můžeme odvodit Y. Aby bylo splněno X \text{ or } Y, musí platit X nebo Y, ale X platit nemůže. Proto platí Y.
• Z výrazů X \Leftrightarrow Y a X můžeme odvodit Y. Výraz X \Leftrightarrow Y říká, že Y má vždy stejnou hodnotu jako X. Z pravdivosti X tak můžeme odvodit pravdivost Y.

Logické spojky jsou v počítači reprezentovány součástkami, kterým se říká logické brány. Z logických bran se pak dají skládat složitější logické obvody, které dokáží například sčítat nebo násobit čísla.

Příklady logických bran